第20章 网络数据

网络的数学表示

网络的数学表示有两种，一种是图，一种是矩阵。

图是数学分支图论中的核心概念，读者不必知道太多关于图的理论。只需知道，使用图来表示状态间的“网络”，其目的在于计算图论中关于图的一些特征，以计算马尔可夫链的特征。

相较于“图”，矩阵则更加便于计算。事实上，图和矩阵是可以相互转换的。一般而言，图向矩阵转换时，当点\(i\)与点\(j\)间有联系时，则记\(a_{ij}=a_{ji}=1\)。而当矩阵向图转换时，则反之。

使用矩阵的目的则是利用线性代数运算的便利性。例如，当矩阵\(A\)与矩阵\(B\)相乘时，记生成的矩阵为\(C\)，则\(c_{ij}\)表示\(A\)中的第\(i\)行和\(B\)中的第\(j\)列中的元素依次相乘并累加。那么，当矩阵\(A\)与矩阵\(B\)表示的是同一组对象（节点）间的关系\(R_A\)和\(R_B\)的存在时，则\(c_{ij}\)表示对象\(i\)和对象\(j\)通过1次关系\(R_A\)和1次关系\(R_B\)后能够产生关联的唯一路径数。特别地，如果矩阵\(A\)与矩阵\(B\)表示同一种关系，则\(c_{ij}\)表示对象\(i\)和对象\(j\)间距离为2的路径的总数。

注意，上述例子中的运算结果解释适用于01网络（Binary Network）。对于权重网络（Weighed Network），如果权重恒正时，则可以通过元\(c_{ij}\)是否大于0，来判断对象\(i\)和对象\(j\)是否有距离为2的路径。若权重有正有负，则该运算不能做上述解读。

网络的类型

网络的分类主要基于图的分类，主要有以下维度：

• 边包含的节点数：
  • 二元网络：边连接2个点。
  • 超网络：边连接3个及以上点。
• 边的方向性：
  • 有向网络：例如出口贸易，\(i\)到\(j\)有出口，不代表\(j\)到\(i\)有出口。
  • 无向网络：例如贸易，若\(i\)与\(j\)有贸易往来，一定有\(j\)与\(i\)有贸易往来。
• 边是否同质：
  • 01网络：只考虑有没有。
  • 权重网络：例如路网，从\(i\)到\(j\)有路，从\(j\)到\(k\)有路，但距离不一定相等。

一般而言，我们讨论的都是二元网络，超网络较为复杂。